De: Marcelo Viana, Diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France.
Endereço da página: https://www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2023/12/desafios-matematicos-para-encerrar- 2023.shtml
No curso de línguas estrangeiras o professor verifica que 17 alunos falam inglês, 11 falam espanhol, 7 falam ambas as línguas, e 8 não falam nenhuma das duas. Quantos alunos há na turma?
"use strict";
let english = 17;
let spanish = 11;
let englishSpanish = 7;
let nothing = 8;
console.log("Existem %d alunos na turma.", english + spanish - englishSpanish
+ nothing);
Existem 29 alunos na turma.Florbela, a florista, está chateada porque o fornecedor entregou mais rosas vermelhas do que brancas: 5 vermelhas para cada 4 brancas. Ora, em seus famosos buquês, ela usa exatamente meia dúzia de cada cor. Mas as vendas estão boas: saíram 16 buquês em um único dia! Florbela nota que agora, entre as flores que sobraram, são 3 rosas vermelhas para cada 2 brancas. Quantas rosas de cada cor ela tinha recebido do fornecedor?
"use strict";
let vt = [ 4, 2 ];
let bt = [ -5, -3 ];
let c = [ 0, -96 ];
let det = (a, b) => a[0] * b[1] - a[1] * b[0];
let d = det(vt, bt);
let dx = det(c, bt);
let dy = det(vt, c);
let x = dx / d;
let y = dy / d;
console.log("%d rosas vermelhas, %d rosas brancas", x, y);
240 rosas vermelhas, 192 rosas brancas
Passando o tempo no mercado com a avó, vendedora de fruta, Pitanga observa a balança. Ela nota que uma maçã pesa o mesmo que dois kiwis. Uma maçã e um kiwi juntos pesam o mesmo que uma banana. Duas bananas e dois kiwis pesam o mesmo que uma maçã e uma pêra. Quantas maçãs Pitanga precisa colocar no prato da balança para equilibrar com uma pêra no outro prato?
"use strict";
let k, m, b, p, x;
m = 2 * k;
b = m + k = (2 * k) + k = 3 * k;
p = 2 *b + 2 *k - m = 2 * (3 * k) + 2 * k - (2 * k) = 6 * k;
x = p / m = (6 * k) / (2 * k) = 3;
console.log("3 maçãs");
3 maçãsA sala do sr. Carré é retangular, com 10,8 m por 5,2 m. Ele quer cobrir o chão com mosaicos, mas faz questão de que sejam quadrados e de que não seja preciso quebrar nenhum. Os mosaicos podem ser fabricados sob medida: a única restrição é que o comprimento do lado corresponda a um número inteiro de centímetros. Qual é o tamanho máximo de mosaico que o sr. Carré pode usar, e quantos precisa encomendar?
"use strict";
function gcd(auxA, auxB) {
let a = Math.max(auxA, auxB);
let b = Math.min(auxA, auxB);
let aux;
while (b) {
aux = b;
b = a % b;
a = aux;
}
return a;
}
console.log(
"mosaico: %dcm de lado\ntotal: %d mosaicos",
gcd(1080, 520),
(1080 * 520) / gcd(1080, 520) ** 2,
);
mosaico: 40cm de lado
total: 351 mosaicosTom Cruise em mais uma missão impossível: recuperar o violão autografado da Taylor Swift roubado por uma quadrilha. O precioso instrumento está protegido por oito alarmes (A1 a A8): se algum deles disparar, o nosso herói morrerá e, muito pior, o violão estará perdido para sempre! Felizmente, há seis botões (B1 a B6) que, a cada vez que são apertados, passam alguns alarmes de "ligado" para "desligado" e vice-versa. O problema é que cada botão controla alarmes diferentes: B1 controla A1, A3, A5 e A7; B2 controla A2, A3, A6 e A8; B3 controla A1, A4, A5 e A6 ; B4 controla A2, A4, A6 e A7; B5 controla A1, A2, A5 e A8; e B6controla A3, A4, A7 e A8. Quando Tom chega ao local, todos os alarmes estão ligados. Quais botões ele deve apertar para desligá-los? A ordem importa?
"use strict";
const buttons = [
[ 0, 2, 4, 6 ],
[ 1, 2, 5, 7 ],
[ 0, 3, 4, 5 ],
[ 1, 3, 5, 6 ],
[ 0, 1, 4, 7 ],
[ 2, 3, 6, 7 ],
];
const inverter = (x) => (x + 1) % 2;
const check = (alarms) => alarms.reduce((a, b) => a + b) === 0;
const nExperiments = 100;
const experiments = [];
for (let i = 0; i < nExperiments; i++) {
const alarms = new Array(8).fill(1);
const qExperiment = 100;
const experiment = [];
for (let j = 0; j < qExperiment; j++) {
const xButton = Math.trunc(Math.random() * 6);
click(buttons, xButton, alarms);
experiment.push(xButton);
if (check(alarms)) {
experiments.push(experiment);
break;
}
}
}
console.log(experiments.sort((a, b) => a.length - b.length));
console.log('botões = %s. A ordem não importa.', experiments[0]);
function click(buttons, button, alarms) {
for (const alarm of buttons[button]) {
alarms[alarm] = inverter(alarms[alarm]);
}
}
[
[ 0, 4, 2 ],
[ 4, 2, 0 ],
[ 2, 4, 0 ],
[ 2, 4, 0 ],
[ 2, 4, 2, 2, 0 ],
[ 4, 0, 5, 5, 2 ],
[ 2, 4, 2, 0, 2 ],
[ 2, 3, 4, 5, 1, 0 ],
[
4, 4, 4, 5,
2, 0, 5
],
[
0, 4, 0, 2,
4, 4, 0
],
[
1, 0, 0, 1,
0, 4, 2
],
[
1, 1, 5, 2,
4, 5, 0
],
[
4, 1, 0, 5, 0,
1, 2, 5, 0
],
[
1, 3, 5, 1, 1,
1, 0, 1, 2, 4
],
[
5, 3, 4, 1, 1,
4, 5, 2, 1, 4,
5, 0
],
[
2, 5, 0, 3, 0, 0,
2, 3, 2, 0, 4, 0,
5
],
[
1, 5, 0, 1, 3, 0,
0, 0, 1, 2, 4, 3,
1, 5, 0
],
[
0, 2, 2, 2, 5, 4, 2,
0, 4, 3, 2, 5, 4, 0,
2, 2, 3
],
[
0, 2, 2, 5, 0, 0, 1,
1, 5, 1, 2, 3, 5, 1,
3, 4, 5
],
[
0, 1, 2, 0, 2, 1, 4,
5, 3, 3, 5, 1, 3, 0,
3, 2, 1
],
[
4, 3, 2, 0, 4, 0, 5,
2, 4, 5, 0, 0, 2, 3,
2, 2, 0
],
[
1, 1, 0, 1, 0, 0, 2,
3, 0, 1, 2, 4, 3, 5,
2, 5, 0
],
[
1, 5, 1, 1, 2, 1, 0,
5, 1, 3, 5, 1, 0, 4,
3, 0, 5
],
[
5, 5, 1, 2, 2, 1, 2,
3, 2, 5, 0, 4, 2, 2,
1, 0, 0, 2
],
[
4, 1, 1, 3, 1, 4, 1,
1, 2, 0, 1, 0, 3, 4,
3, 0, 1, 5
],
[
3, 5, 4, 1, 1, 5, 0,
0, 1, 2, 5, 3, 0, 1,
2, 3, 1, 2
],
[
2, 3, 5, 0, 4, 2, 4,
1, 4, 5, 5, 3, 1, 5,
0, 2, 3, 1, 5, 0
],
[
1, 2, 5, 5, 5, 2, 1,
4, 5, 1, 2, 4, 4, 5,
0, 2, 2, 2, 3, 2
],
[
4, 0, 4, 0, 3, 1, 2,
5, 2, 5, 1, 5, 4, 2,
0, 0, 3, 3, 1, 0
],
[
4, 1, 1, 3, 3, 2, 3,
5, 0, 5, 0, 1, 2, 3,
4, 2, 0, 4, 5, 1, 5
],
[
3, 2, 0, 5, 1, 1, 5,
0, 3, 2, 2, 5, 1, 5,
4, 5, 1, 4, 1, 3, 0,
4
],
[
4, 4, 2, 5, 5, 1, 5,
2, 1, 2, 4, 5, 3, 1,
0, 2, 2, 4, 1, 1, 5,
4
],
[
5, 4, 2, 3, 4, 4, 2, 5,
1, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 5,
2, 5, 2, 3, 3, 0, 1
],
[
0, 0, 5, 5, 3, 5, 1, 1,
5, 4, 4, 1, 0, 1, 1, 0,
4, 5, 5, 3, 0, 1, 2
],
[
0, 5, 3, 4, 1, 1, 2, 4,
1, 2, 2, 1, 3, 0, 2, 5,
3, 2, 4, 1, 1, 0, 3
],
[
4, 1, 5, 0, 1, 1, 3, 3,
1, 4, 0, 5, 0, 3, 0, 1,
4, 4, 4, 5, 0, 4, 4, 2
],
[
3, 3, 0, 2, 0, 4, 3, 1,
0, 4, 4, 4, 5, 0, 4, 5,
3, 4, 0, 2, 3, 3, 2, 4,
1
],
[
1, 4, 5, 4, 2, 2, 0, 0,
5, 4, 3, 1, 5, 1, 3, 1,
0, 2, 4, 5, 2, 1, 4, 1,
2
],
[
3, 5, 3, 1, 2, 0, 0, 3,
4, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 2,
0, 1, 4, 5, 3, 5, 5, 4,
2
],
[
1, 2, 5, 3, 2, 2, 0, 5,
4, 1, 2, 3, 4, 1, 0, 3,
5, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 2,
0
],
[
4, 0, 0, 4, 0, 3, 1, 4,
5, 5, 4, 0, 1, 3, 4, 4,
3, 4, 3, 2, 4, 3, 5, 4,
1, 0
],
[
5, 0, 5, 0, 1, 1, 1, 4,
3, 1, 1, 4, 1, 3, 2, 2,
3, 1, 1, 0, 4, 5, 2, 0,
0, 1
],
[
0, 5, 0, 2, 5, 0, 5, 0,
1, 0, 5, 3, 0, 4, 0, 4,
0, 1, 4, 5, 2, 0, 4, 2,
4, 1
],
[
1, 4, 4, 0, 0, 4, 0, 0, 3,
5, 4, 3, 0, 1, 5, 1, 0, 1,
0, 4, 0, 1, 1, 0, 3, 3, 5,
5, 2
],
[
0, 2, 0, 5, 1, 3, 4, 2, 0,
0, 4, 0, 3, 5, 3, 3, 3, 1,
1, 3, 3, 1, 5, 5, 1, 3, 1,
2, 4
],
[
1, 3, 0, 5, 0, 5, 5, 2, 4,
4, 2, 3, 0, 2, 0, 0, 5, 2,
3, 3, 4, 0, 0, 4, 3, 1, 5,
2, 4, 1
],
[
5, 4, 1, 2, 5, 3, 4, 4, 3,
2, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 4, 5,
3, 0, 1, 0, 1, 4, 2, 3, 5,
2, 2, 0
],
[
5, 5, 1, 3, 0, 3, 3, 0, 1,
3, 0, 1, 2, 5, 5, 4, 3, 2,
4, 5, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 0,
3, 4, 0
],
[
4, 1, 2, 1, 3, 1, 0, 3, 5,
2, 5, 1, 5, 5, 3, 1, 2, 0,
3, 0, 3, 3, 5, 5, 2, 4, 5,
4, 1, 2, 5
],
[
2, 2, 0, 3, 4, 0, 5, 1, 5,
1, 2, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 5,
4, 2, 0, 1, 2, 4, 4, 0, 0,
0, 2, 0, 4, 0
],
[
3, 4, 5, 5, 0, 4, 2, 2, 5,
3, 3, 2, 4, 5, 2, 0, 1, 3,
0, 5, 3, 1, 0, 1, 4, 5, 2,
2, 4, 5, 2, 0
],
[
5, 3, 0, 1, 3, 1, 4, 1, 2,
4, 1, 4, 0, 5, 1, 3, 2, 1,
1, 3, 2, 2, 4, 2, 0, 0, 2,
3, 0, 1, 3, 4, 2
],
[
4, 1, 4, 1, 3, 5, 1, 0, 3,
4, 3, 3, 2, 5, 3, 2, 3, 4,
0, 1, 3, 4, 0, 3, 0, 4, 2,
1, 1, 1, 0, 4, 1
],
[
4, 5, 3, 4, 0, 2, 1, 5, 1,
0, 2, 1, 0, 0, 5, 4, 2, 4,
0, 0, 1, 5, 2, 4, 2, 0, 1,
1, 1, 2, 5, 3, 3, 2
],
[
1, 5, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3,
5, 4, 5, 5, 0, 3, 5, 1, 2,
2, 2, 2, 0, 4, 2, 2, 1, 4,
5, 2, 3, 3, 2, 0, 4
],
[
3, 3, 5, 3, 2, 5, 5, 1, 1,
4, 3, 4, 0, 0, 3, 1, 2, 3,
5, 3, 2, 1, 5, 0, 5, 2, 2,
2, 4, 2, 5, 5, 1, 5
],
[
0, 5, 3, 5, 1, 3, 2, 5, 1,
2, 0, 2, 1, 0, 0, 2, 1, 1,
4, 0, 4, 2, 0, 1, 2, 1, 4,
5, 2, 0, 3, 1, 0, 0, 3
],
[
3, 4, 3, 4, 0, 5, 0, 0, 1,
1, 5, 1, 1, 1, 3, 2, 0, 1,
4, 0, 2, 0, 5, 1, 5, 0, 5,
4, 1, 3, 2, 1, 4, 1, 1, 3
],
[
4, 2, 2, 0, 5, 4, 3, 1, 4, 0,
5, 3, 0, 4, 4, 1, 4, 0, 4, 5,
1, 1, 4, 1, 4, 4, 5, 1, 4, 5,
0, 1, 1, 5, 1, 1, 2
],
[
2, 3, 3, 5, 2, 2, 2, 1, 5, 4,
5, 3, 3, 5, 3, 3, 2, 5, 4, 3,
5, 5, 4, 2, 1, 3, 4, 3, 3, 0,
2, 4, 1, 5, 2, 5, 5, 1, 2
],
[
3, 1, 5, 3, 3, 1, 3, 1, 4, 4,
4, 1, 4, 0, 4, 3, 5, 3, 1, 3,
0, 4, 0, 2, 5, 2, 3, 0, 1, 4,
1, 1, 2, 1, 1, 4, 4, 5, 0
],
[
0, 2, 0, 5, 2, 2, 2, 1, 3, 3,
2, 5, 2, 1, 4, 5, 3, 2, 3, 4,
2, 3, 4, 3, 5, 1, 2, 4, 1, 2,
1, 2, 4, 3, 1, 1, 3, 0, 1
],
[
2, 4, 1, 4, 5, 3, 1, 3, 0, 5,
3, 3, 1, 5, 0, 4, 0, 2, 1, 4,
1, 1, 1, 0, 2, 4, 1, 5, 4, 2,
5, 4, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 3, 0
],
[
0, 3, 0, 5, 4, 5, 2, 1, 2, 4,
0, 5, 5, 3, 3, 3, 2, 5, 0, 3,
5, 3, 5, 2, 4, 5, 3, 3, 5, 5,
2, 2, 1, 3, 3, 0, 4, 4, 0, 2,
0
],
[
3, 3, 3, 5, 2, 4, 5, 4, 2, 0,
5, 0, 5, 3, 1, 0, 1, 2, 0, 2,
2, 3, 5, 1, 2, 1, 5, 5, 2, 4,
1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 4, 5, 3,
0, 2, 1
],
[
1, 4, 1, 3, 0, 2, 0, 2, 5, 5,
0, 5, 5, 0, 5, 2, 2, 2, 2, 5,
3, 5, 4, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 3,
2, 5, 4, 0, 1, 0, 2, 3, 3, 3,
0, 4, 2
],
[
4, 3, 3, 1, 0, 3, 2, 2, 1, 3, 1,
2, 3, 2, 3, 2, 5, 5, 4, 2, 0, 1,
3, 1, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 4, 1, 2,
3, 0, 3, 3, 1, 5, 1, 4, 5, 2, 3,
1
],
[
4, 5, 3, 5, 1, 5, 4, 4, 3, 2, 3,
2, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 5, 5, 2, 0,
3, 1, 1, 3, 4, 3, 4, 1, 5, 3, 5,
3, 4, 5, 4, 2, 4, 2, 5, 0, 4, 0,
1, 0
],
[
5, 2, 4, 5, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 3,
3, 5, 2, 4, 5, 2, 5, 3, 5, 2, 2,
5, 2, 2, 5, 1, 3, 4, 4, 2, 0, 5,
4, 5, 5, 5, 1, 4, 5, 2, 1, 4, 2,
4, 5, 4, 3, 2, 5
],
[
3, 2, 0, 5, 5, 5, 0, 2, 0, 2, 0,
5, 5, 3, 5, 1, 0, 4, 3, 4, 2, 0,
2, 0, 5, 1, 3, 1, 3, 3, 5, 4, 3,
2, 0, 4, 2, 2, 5, 5, 4, 0, 4, 4,
4, 0, 3, 2, 0, 4, 1
],
[
4, 4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 2, 5, 4,
5, 2, 1, 3, 5, 5, 5, 0, 4, 5, 3,
5, 0, 0, 0, 5, 3, 2, 2, 1, 3, 0,
1, 5, 5, 2, 5, 5, 0, 5, 1, 2, 4,
5, 4, 4, 5, 2, 1, 3, 0
],
[
5, 1, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 4, 5, 2, 5,
4, 0, 2, 5, 1, 3, 0, 4, 1, 4, 0, 3,
0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 4, 1, 3, 1, 5,
4, 5, 2, 1, 2, 1, 5, 5, 5, 5, 4, 3,
3, 1, 5, 0, 5
],
[
3, 5, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 4, 4, 3, 0,
2, 2, 0, 4, 0, 1, 0, 4, 4, 5, 5, 4,
1, 0, 4, 2, 2, 5, 2, 4, 5, 4, 0, 0,
3, 0, 2, 4, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 5, 2,
5, 1, 5, 2, 0, 2, 4
],
[
5, 0, 3, 3, 3, 0, 2, 0, 5, 5, 0, 1,
1, 2, 2, 3, 4, 1, 5, 4, 2, 1, 2, 4,
5, 4, 1, 1, 4, 3, 4, 2, 1, 1, 4, 0,
5, 5, 5, 5, 4, 1, 4, 4, 4, 0, 5, 4,
0, 4, 5, 3, 1, 2, 5
],
[
0, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 2, 0, 3, 1, 1,
0, 0, 1, 1, 4, 5, 2, 3, 2, 4, 2, 1,
5, 3, 0, 1, 5, 5, 4, 4, 5, 4, 4, 2,
1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 2, 0, 1, 5, 0,
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],
[
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],
[
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],
[
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],
[
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[
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[
3, 2, 0, 1, 1, 5, 1, 3, 1, 3, 3, 5,
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],
[
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],
[
1, 0, 4, 5, 4, 0, 1, 5, 3, 0, 4, 4,
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],
[
3, 4, 5, 0, 1, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2,
3, 2, 4, 1, 1, 5, 4, 5, 0, 5, 2, 3,
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],
[
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